Алгебра

Эта книга представляет собой первую часть учебного пособия по курсу «Алгебра и теория чисел», изучаемому на физико-математических факультетах пединститутов. Она охватывает в основном материал первого семестра.Содержание. Элементы теории множеств и логики. Множества. Операции над множествами. Прямое произведение множеств. Отношение. Высказывания и предикаты. Логические операции и правила вывода. Аксиомы натурального ряда и принцип математической индукции. Системы линейных уравнений и линейных неравенств. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. Следствие метода Гаусса. Системы линейных неравенств. Свойства систем линейных неравенств. Арифметические векторы. Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn. Линейная зависимость. Две теоремы о линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов. Матрица, ее строчечный и столбцевой ранги. Совпадение строчечного и столбцевого рангов. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальный набор решений. Однородная система линейных неравенств. Фундаментальный набор решений. Матрицы и определители. Операции над матрицами. Свойства умножения матриц. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы A-1 для невырожденной матрицы A. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей n-го порядка. Условие вырожденности квадратной матрицы. Теорема об определителе произведения. Условие существования ненулевого решения однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Теорема о ранге матрицы.